アルティン環の冪零根基 (と選択公理)
環の中には、アルティン環とネーター環というイデアルの列で定義される環がある。以下に記す命題3は、この二つの環を繋げる役割を持つ命題だが、アティマクの証明*1 が直感的でなく、個人的にわかりにくかったので、別証明を考えた。以下 $A$ を単位的可換環とする。
定義 1
$A$ の任意のイデアルの列 $I_1 \supset I_2 \supset \cdots $ に対し、ある $m > 0$ が存在して、$I_m = I_{m+1} = \cdots$ となる時、$A$ をアルティン環という。
定義 2
$I \subset A$ をイデアルとするとき、$\sqrt{I} = \{ a \in A \mid \exists n > 0, a^n \in I \}$ をイデアル $I$ の根基という。特に $\sqrt{(0)}$ を冪零根基という。
命題 3
$A$ をアルティン環、$\sqrt{(0)}$ を冪零根基とする。この時、ある $n > 0$ が存在し、$(\sqrt{(0)})^{n} = (0)$ である。
(証明)
任意の $n > 0$ に対し、$(\sqrt{(0)})^{n} \neq (0)$ と仮定する。仮定より、任意の $n > 0$ に対し、$x \in \sqrt{(0)}$ で、$x^{n} \neq 0$ となるものがある。よって $n = 1, 2, \cdots$ に対し、$S_n = \{ x \in \sqrt{(0)} \mid x^{n} \neq 0 \}$ とおけば、これは空ではない。可算選択公理により、選択関数 $a : \mathbb{N} \to \bigcup^{\infty}_{n = 1} S_n$ が存在し、$a_n = a(n) \in S_n$ となる。$n = 1, 2, \cdots$ に対し、イデアル $I_n = \bigcap^{n}_{i = 1} (a_i)$ を定めれば、$I_1 \supset I_2 \supset \cdots$ はイデアルの下降列だが、$A$ はアルティン環なので、ある $ m > 0 $ が存在して、$ I_m = I_{m+1} = \cdots $ となる。$ a_m \in \sqrt{(0)} $ なので、ある $ k > m $ が存在して、$a_m^{k} = 0 $ となる。$ a_k \in I_k = I_m $ なので、ある $c \in A$ があり、$ a_k = ca_m $ となるが、$a_k^{k} = 0$ となって矛盾である。 ■
